TRIGONOMETRY IDENTITY (BIAR GA LUpA)

Proof of the product and sum formulas

Products as sums

a)	sin  cos β	=	½[sin ( + β) + sin ( − β)]
b)	cos  sin β	=	½[sin ( + β) − sin ( − β)]
c)	cos  cos β	=	½[cos ( + β) + cos ( − β)]
d)	sin  sin β	=	−½[cos ( + β) − cos ( − β)]

Proof

These formulas are also derived from the sum and difference formulas.  To derive (a), write

sin ( + β)	=	sin  cos β + cos  sin β
sin ( − β)	=	sin  cos β − cos  sin β

and add vertically.  The last terms in each line will cancel:

sin ( + β) + sin ( − β) = 2 sin  cos β.

Therefore, on exchanging sides,

2 sin  cos β = sin ( + β) + sin ( − β),

so that

sin  cos β = ½[sin ( + β) + sin ( − β)]. 

This is the identity (a)).

Formula (b) is derived in exactly the same manner, only instead of adding, subtract sin ( − β) from sin ( + β). 

Formulas (c) and (d) are derived similarly.  To derive (c), write

cos ( + β) = cos  cos β − sin  sin β,

cos ( − β) = cos  cos β + sin  sin β,

and add.  To derive (d), subtract.

Let us derive (d).  On subtracting, the first terms on the right will cancel.  We will have

cos ( + β) − cos ( − β) = −2 sin  sin β.

Therefore, on solving for sin  sin β,

sin  sin β = −½[cos ( + β) − cos ( − β)].

Sums as products

e)	sin A + sin B	=	2 sin ½ (A + B) cos ½ (A − B)
f)	sin A − sin B	=	2 sin ½ (A − B) cos ½ (A + B)
g)	cos A + cos B	=	2 cos ½ (A + B) cos ½ (A − B)
h)	cos A − cos B	=	−2 sin ½ (A + B) sin ½ (A − B)

Proof

The formulas (e), (f), (g), (h) are derived from (a), (b), (c), (d)respectively; that is, (e) comes from (a), (f) comes from (b), and so on. 

To derive (e), exchange sides in (a):

½[sin ( + β) + sin ( − β)] = sin  cos β,

so that

sin ( + β) + sin ( − β) = 2 sin  cos β.  .  .  .  .  . (1)

Now put

			+ β	=	A
	and
			− β	=	B.  .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .(2)

The left-hand side of line (1) then becomes

sin A + sin B.

This is now the left-hand side of (e), which is what we are trying to prove.

To complete the right−hand side of line (1), solve those simultaneous equations (2) for  and β. 

On adding them,  2 = A + B,

so that

 = ½(A + B).

On subtracting those two equations,  2β = A − B,

so that

β = ½(A − B).

On the right−hand side of line (1), substitute those expressions for and β.  Line (1) then becomes

sin A + sin B = 2 sin ½(A + B) cos ½(A − B).

This is the identity (e).

Read it as follows:

"sin A + sin B equals twice the sine of half their sum
times the cosine of half their difference."

Identities (f), (g), and (h) are derived in exactly the same manner from(b), (c), and (d) respectively.

Rumus-rumus seperti itu sangat kita perlukan untuk menghadapi soal-soal. Terutama soal-soal ujian, ujian nasional, snmptn atau yang lainnya(terutama skripshit saia). Sebenarnya dari mana rumus tersebut berasal. Perhatikan hal di bawah ini 

Rumus tersebut sebenarnya hanya berasal dari rumus cosinus jumlah dan cosinus selisih sudut.

Kedua rumus atau kedua persamaan tersebut kita jumlahkan. didapatkan :

Menjadi

rumus-rumus pada trigonometri sebenarnya yang perlu dihafal hanya rumus jumlah dan selisih sudutnya saja. Karena rumus yang lain dengan mudah kita bisa mendapatkannya. Misalkan saja untuk mencari rumus perkalian : 

kita tinggal mengurangkan kedua persamaan tersebut. dan nantinya akan dengan mudah didapatkan rumusnya. Tidak perlu menghafalnya. Hanya menghafal rumus jumlah dan selisih sudut untuk sin dan cos saja.